Bài tập 23, § 10

Cho X và Y là hai không gian compact địa phương, f là một ánh xạ liên tục từ X vào Y. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

α) Mỗi điểm $y \in f(X)$ có trong Y một lân cận compact V sao cho $f^{-1}(V)$ là compact. β) Mỗi điểm $y \in f(X)$ có trong Y một lân cận mở T sao cho ánh xạ $f_T : f^{-1}(T) \to T$ trùng với f trên $f^{-1}(T)$ là thực sự. γ) Không gian con $f(X)$ của Y là compact địa phương, và nếu j là đơn ánh chính tắc của $f(X)$ vào Y, thì f phân tích qua $X \xrightarrow{g} f(X) \xrightarrow{j} Y$, trong đó g là thực sự.