Exercice 24, § 10

Soient Z, Y deux espaces localement compacts, f une application propre de Z dans Y, F un sous-espace fermé de Z tel que $X = Z - F$ soit un ouvert partout dense dans Z et que la restriction de f à F soit injective (de sorte que cette restriction est un homéomorphisme de F sur un sous-espace fermé $Y_0 = f(F)$ de Y). Montrer que $Y_0$ est l’ensemble des $y \in Y$ tels que $X \cap f^{-1}(V)$ ne soit compact pour aucun voisinage V de y dans Y. En outre, la topologie de Z est engendrée par l’ensemble formé des parties ouvertes de X, des complémentaires dans Z des parties compactes de X et des images réciproques $f^{-1}(U)$, où U parcourt l’ensemble des parties ouvertes de Y. (Pour montrer que la topologie engendrée par cet ensemble est plus fine que la topologie donnée sur Z, on pourra utiliser la prop. 1 de I, p. 60).