Bài tập 24, § 10

Cho $Z, Y$ là hai không gian địa phương compact, $f$ là một ánh xạ thực sự từ $Z$ vào $Y$, $F$ là một không gian con đóng của $Z$ sao cho $X = Z - F$ là một tập hợp mở trù mật khắp nơi trong $Z$ và sao cho hạn chế của $f$ lên $F$ là đơn ánh (sao cho hạn chế này là một đồng phôi của $F$ lên một không gian con đóng $Y_0 = f(F)$ của $Y$). Bây giờ chứng minh rằng $Y_0$ là tập hợp của các $y \in Y$ sao cho $X \cap f^{-1}(V)$ không compact đối với mọi lân cận V của $y$ trong $Y$. Hơn nữa, tôpô của $Z$ được sinh bởi tập hợp tạo thành bởi các tập hợp mở của $X$, các phần bù trong $Z$ của các tập hợp compact của $X$ và các ảnh nghịch đảo $f^{-1}(U)$, trong đó U chạy qua tập hợp các tập hợp mở của $Y$. (Để chứng minh rằng tôpô được sinh bởi tập hợp này mịn hơn tôpô đã cho trên $Z$, ta có thể sử dụng Mệnh đề 1 của I, p. 60).