Exercice 18, § 11

Soient X le plan $\mathbf{R}^2$, R la relation d’équivalence dans X dont les classes sont les droites $y = \beta$ pour $\beta > 0$ et les demi-droites $x = \alpha, y \leq 0$ pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$. Montrer que sur X/R, considéré comme partie de $\mathfrak{P}_0(X)$, la topologie induite par $\mathscr{T}_\Omega$ (I, p. 91, exerc. 7) est discrète, la topologie induite par $\mathscr{T}_\phi$ est non discrète mais fait de X/R un espace non connexe; enfin X/R est connexe pour la topologie quotient.*