Bài tập 18, § 11

Cho X là mặt phẳng thực $\mathbf{R}^2$, và cho R là quan hệ tương đương trên X mà các lớp tương đương của nó là các đường thẳng $y = \beta$ với $\beta > 0$ và các nửa đường thẳng $x = \alpha, y \leq 0$ với mọi $\alpha \in \mathbf{R}$. Hãy chứng minh rằng nếu X/R được xem như một tập con của $\mathfrak{B}_0(X)$, thì tôpô cảm sinh trên X/R bởi $\mathfrak{T}_\Omega$ (§ 2, Bài tập 7) là rời rạc, và tôpô cảm sinh trên X/R bởi $\mathfrak{T}_\Phi$ không phải là rời rạc nhưng biến X/R thành một không gian không liên thông. Cuối cùng hãy chứng minh rằng X/R là liên thông trong tôpô thương.*