Exercice 19, § 11

Soit X un espace localement compact; on peut alors montrer que X s’identifie à un sous-espace ouvert partout dense de l’espace compact universel $\tilde{X}$ construit dans l’exerc. 26 de I, p. 110 (cf. IX, § 1, exerc. 14 b). On suppose en outre X connexe et localement connexe.

a) Pour toute partie compacte $K$ de $X$, montrer que l’ensemble des composantes connexes non relativement compactes de $X - K$ est fini (cf. I, p. 116, exerc. 14 b)). En déduire qu’un point de $\tilde{X} - X$ ne peut être adhérent qu’à une seule des composantes connexes de $X - K$ (si $A_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) sont les composantes connexes non compactes de $X - K$, $C_i$ l’ensemble compact des points de $\tilde{X} - X$ adhérents à $A_i$, former un espace compact dont l’ensemble sous-jacent soit somme de $X$ et des $C_i$, et tel que $X$ s’identifie à un sous-espace ouvert partout dense de cet espace).

b) Dans $\tilde{X} - X$, soit $R’\{x, y\}$ la relation d’équivalence: « pour toute partie compacte $K$ de $X$, $x$ et $y$ sont adhérents à la même composante connexe non compacte de $X - K$ ». Soit $R$ la relation d’équivalence dans $\tilde{X}$ dont les classes sont les classes suivant $R’$ et les parties de $X$ réduites à un seul point. Montrer que $R$ est séparée, que $X$ s’identifie à un sous-espace ouvert partout dense de l’espace compact $X^b = \tilde{X}/R$, et que dans l’espace compact $X^b - X$, tout point est intersection de ses voisinages à la fois ouverts et fermés. On dit que les points de $X^b - X$ sont les bouts de l’espace $X$.

c) Soit $Y$ un espace compact tel que $X$ s’identifie à un sous-espace ouvert partout dense de $Y$ et que dans l’espace compact $Y - X$, tout point soit l’intersection de ses voisinages à la fois ouverts et fermés.\footnote{Cette condition équivaut à dire que $Y - X$ est totalement discontinu (II, p. 32, prop. 6).} Montrer qu’il existe une application continue de $X^b$ dans $Y$ se réduisant à l’application identique dans $X$. (Si $Y - X$ est réunion de deux ensembles fermés non vides et disjoints $A, B$, montrer qu’il existe dans $Y$ deux ensembles ouverts $U, V$ disjoints, tels que $A \subset U, B \subset V$ et que $Y - (U \cup V)$ soit compact).

d) Montrer que si $X$ est dénombrable à l’infini, l’espace $X^b - X$ admet une base dénombrable.

e) Le nombre de bouts de la droite numérique est égal à 2, celui d’un espace $\mathbf{R}^n$ ($n \geqslant 2$) égal à 1. Donner un exemple d’un sous-espace localement compact, connexe et localement connexe de $\mathbf{R}^2$ pour lequel l’ensemble des bouts a la puissance du continu.*