Bài tập 19, § 11

Cho X là một không gian compact địa phương. Có thể chứng minh rằng X có thể được đồng nhất với một không gian con mở trù mật của không gian compact phổ quát $\tilde{X}$ được xây dựng trong § 9, Bài tập 25 (xem Chương IX, § 1, Bài tập 8). Giả sử thêm rằng X liên thông và liên thông địa phương.

a) Chứng minh rằng, với mọi tập con compact K của X, tập hợp các thành phần của $X - K$ không compact tương đối là hữu hạn [xem Bài tập 14 b)]. Suy ra rằng một điểm của $\tilde{X} - X$ thuộc vào bao đóng của nhiều nhất một trong các thành phần của $X - K$ [nếu $A_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các thành phần không compact của $X - K$, và $C_i$ là tập compact các điểm của $\tilde{X} - X$ nằm trong bao đóng của $A_i$, xây dựng một không gian compact mà tập nền là tổng của X và các tập $C_i$, sao cho X được đồng nhất với một không gian con mở trù mật của không gian này].

b) Cho $R' \{ x, y \}$ là quan hệ tương đương sau đây trên $\tilde{X} - X$: "với mọi tập con compact K của X, x và y nằm trong bao đóng của cùng một thành phần không compact của $X - K$". Cho R là quan hệ tương đương trên $\tilde{X}$ mà các lớp tương đương của nó là các lớp theo $R'$ và các tập gồm một điểm duy nhất của X. Chứng minh rằng R là Hausdorff và X có thể được đồng nhất với một không gian con mở trù mật của không gian compact $X^b = \tilde{X}/R$; chứng minh rằng trong không gian compact $X^b - X$ mọi điểm là giao của các lân cận của nó vừa mở vừa đóng. Các điểm của $X^b - X$ được gọi là các đầu mút của không gian X.

c) Cho $Y$ là một không gian compact sao cho X có thể được đồng nhất với một không gian con mở trù mật của Y và sao cho trong không gian compact $Y - X$ mọi điểm là giao của các lân cận của nó vừa mở vừa đóng (*). Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ liên tục từ $X^b$ vào Y cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên X. [Nếu $Y - X$ là hợp của hai tập đóng khác rỗng rời nhau $A$ và $B$, chứng minh rằng tồn tại hai tập con mở rời nhau $U, Y$ trong $V$ sao cho $A \subset U, B \subset V$ và sao cho $Y - (U \cup V)$ là compact].

d) Chứng minh rằng nếu X là $\sigma$-compact, thì $X^b - X$ có một cơ sở đếm được.

e) Đường thẳng thực có hai đầu mút, và $\mathbf{R}^n$ ($n \geq 2$) có một đầu mút. Hãy cho một ví dụ về một không gian con liên thông, liên thông địa phương, compact địa phương của $\mathbf{R}^2$ mà tập hợp các đầu mút có lực lượng của continuum.*