Exercice 21, § 11

a) Pour un espace topologique $X$, les conditions suivantes sont équivalentes : 1° pour tout ensemble ouvert $U$ de $X$, $\overline{U}$ est ouvert ; 2° pour tout ensemble fermé $F$ de $X$, $\hat{F}$ est fermé ; 3° pour tout couple d’ensembles ouverts $U, V$ de $X$ tels que $U \cap V = \varnothing$, on a $\overline{U} \cap \overline{V} = \varnothing$. Un espace séparé vérifiant ces conditions est dit extrêmement discontinu; il est alors totalement discontinu. Un espace discret est extrêmement discontinu. La droite rationnelle est un espace totalement discontinu, mais non extrêmement discontinu.

b) Pour qu’un espace séparé soit extrêmement discontinu, il faut et il suffit que l’espace semi-régulier associé (I, p. 103, exerc. 20) le soit.

c) Soient $X$ un espace topologique séparé, $A$ un sous-espace partout dense de $X$. Montrer que si $A$ est extrêmement discontinu et si la topologie de $X$ est $A$-maximale (I, p. 94, exerc. 11), alors $X$ est extrêmement discontinu.

d) Déduire de b) et c) que, pour tout ensemble infini $X$, l’espace (compact) des ultrafiltres sur $X$ est extrêmement discontinu (cf. I, p. 110, exerc. 27 et I, p. 109, exerc. 25).\footnote{Pour des exemples d’espaces compacts extrêmement discontinus et sans point isolé, voir II, p. 38, exerc. 12 b).}

e) Soit $X$ un espace topologique séparé sans point isolé. Pour que la topologie de $X$ soit quasi-maximale (I, p. 91, exerc. 6), il faut et il suffit que $X$ soit submaximal (I, p. 103, exerc. 22) et extrêmement discontinu (pour montrer que la condition est suffisante, utiliser l’exerc. 22 e) de I, p. 103 et prouver que, dans $X$, tout ensemble fermé sans point isolé est ouvert).

f) Montrer que tout espace ultrarégulier (I, p. 104, exerc. 25) est extrêmement discontinu, mais un espace compact extrêmement discontinu sans point isolé n’est pas ultrarégulier (cf. I, p. 110, exerc. 28).

g) Montrer qu’un espace extrêmement discontinu semi-régulier (I, p. 103, exerc. 20) est régulier (cf. II, p. 38, exerc. 12).

h) Montrer que, dans un espace extrêmement discontinu, il n’existe pas de suite convergente ayant une infinité de termes distincts (raisonner par l’absurde, en formant par récurrence deux suites $(U_n), (V_n)$ d’ensembles ouverts, deux à deux sans point commun, tels que si l’on pose $U = \bigcup_n U_n, V = \bigcup_n V_n$, on ait $U \cap V = \varnothing, \overline{U} \cap \overline{V} \neq \varnothing$).

i) Montrer que dans un espace extrêmement discontinu $X$, un point non isolé $a$ ne peut avoir un système fondamental bien ordonné (pour la relation $\supset$) de voisinages à la fois ouverts et fermés (raisonner par l’absurde comme dans h)).