Bài tập 21, § 11

a) Chứng minh rằng các điều kiện sau đây trên một không gian tôpô $X$ là tương đương: (i) với mỗi tập mở $U$ trong $X$, $\overline{U}$ là mở; (ii) với mỗi tập đóng $F$ trong $X$, $\dot{F}$ là đóng; (iii) với mỗi cặp tập mở rời nhau $U, V$ trong $X$, ta có $\overline{U} \cap \overline{V} = \varnothing$. Một không gian Hausdorff thỏa mãn các điều kiện này được gọi là rời nhau cực đại; khi đó nó hoàn toàn rời nhau. Đường hữu tỉ hoàn toàn rời nhau nhưng không rời nhau cực đại.

b) Một không gian Hausdorff là rời nhau cực đại khi và chỉ khi không gian nửa chính quy liên kết ($§ 8$, Bài tập 20) là rời nhau cực đại.

c) Cho $X$ là một không gian Hausdorff và $A$ là một tập con trù mật của $X$. Chứng minh rằng nếu $A$ là rời nhau cực đại và tôpô của $X$ là A-cực đại ($§ 3$, Bài tập 11), thì $X$ là rời nhau cực đại.

d) Suy ra từ b) và c) rằng, nếu $X$ là một tập vô hạn bất kỳ, thì không gian siêu lọc (compact) của $X$ là rời nhau cực đại (xem $§ 9$, các Bài tập 26 và 24) (**).

e) Cho $X$ là một không gian Hausdorff không có điểm cô lập. Chứng minh rằng tôpô của $X$ là gần-cực đại ($§ 2$, Bài tập 6) khi và chỉ khi $X$ là

() Điều kiện này tương đương với việc nói rằng $Y - X$ hoàn toàn rời nhau (Chương II, $§ 4$, no. 4, Mệnh đề 6). (*) Về các ví dụ của những không gian compact rời nhau cực đại không có điểm cô lập, xem Chương II, $§ 4$, Bài tập 12 b).

nửa-cực đại ($§ 8$, Bài tập 22) và rời nhau cực đại. (Để chứng minh điều kiện là đủ, hãy sử dụng Bài tập 22 e) của $§ 8$ và chứng minh rằng mọi tập con đóng của $X$ không có điểm cô lập đều là mở).

f) Chứng minh rằng mọi không gian siêu chính quy ($§ 8$, Bài tập 25) đều rời nhau cực đại, nhưng một không gian compact rời nhau cực đại không có điểm cô lập thì không siêu chính quy (xem $§ 9$, Bài tập 27).

g) Chứng minh rằng một không gian nửa chính quy rời nhau cực đại ($§ 8$, Bài tập 20) là chính quy (xem Chương II, $§ 4$, Bài tập 12).

h) Chứng minh rằng trong một không gian rời nhau cực đại không có dãy hội tụ nào có một số vô hạn các số hạng phân biệt [lập luận phản chứng bằng cách dựng đệ quy hai dãy $(U_n), (V_n)$ các tập mở đôi một rời nhau sao cho nếu $U = \bigcup_n U_n$ và $V = \bigcup_n V_n$ thì $U \cap V = \emptyset$ nhưng $\overline{U} \cap \overline{V} \neq \emptyset$].

i) Chứng minh rằng trong một không gian rời nhau cực đại $X$, một điểm không cô lập $a$ không thể có một hệ cơ sở các lân cận vừa mở vừa đóng đồng thời, được sắp tốt (đối với quan hệ $\supset$). (Sử dụng phép chứng minh phản chứng, như trong h).)