Exercice 23, § 11

Soit $\Sigma$ une espèce de structure plus riche que l’espèce de structure d’espace topologique (E, IV, p. 9); un ensemble muni d’une structure d’espèce $\Sigma$ sera dit un $\Sigma$-espace; on prend pour morphismes de $\Sigma$ (E, IV, p. 11) les applications continues. On dit qu’un $\Sigma$-espace $X$ est $\Sigma$-projectif si, pour toute application continue surjective $h : Y \to Z$ de $\Sigma$-espaces, et toute application continue $g : X \to Z$, il existe une application continue $f : X \to Y$ rendant commutatif le diagramme

(1)

a) On suppose que l’espèce de structure $\Sigma$ est telle qu’un sous-espace fermé d’un $\Sigma$-espace est un $\Sigma$-espace, et que, si $X$ est un $\Sigma$-espace, il en est de même du produit $X \times \{0, 1\}$, où $\{0, 1\}$ est muni de la topologie discrète. Montrer que dans ces conditions, tout espace $\Sigma$-projectif $X$ est extrêmement discontinu. (Si $U$ est un ensemble ouvert dans $X$, considérer, dans l’espace produit $Y_0 = X \times \{0, 1\}$, le sous-espace $Y$ réunion de $(X - U) \times \{0\}$ et de $\overline{U} \times \{1\}$, la restriction $h$ à $Y$ de la projection $pr_1$, et l’application identique $g = \mathrm{Id}_X$). En déduire que si $\Sigma$ est l’espèce de structure des espaces topologiques dont tout point a un système fondamental dénombrable de voisinages, les espaces $\Sigma$-projectifs sont les espaces discrets (utiliser l’exerc. 21 h) de I, p. 118).

b) Soient $X$ un espace compact, $Y$ un espace compact extrêmement discontinu, $f : X \to Y$ une application continue surjective et irréductible (I, p. 93, exerc. 12). Montrer que $f$ est un homéomorphisme de $X$ sur $Y$.

c) On prend pour $\Sigma$ l’espèce de structure des espaces compacts. Montrer que les espaces $\Sigma$-projectifs sont alors les espaces compacts extrêmement discontinus. (Si, dans le diagramme (1), $X, Y, Z$ sont compacts et $X$ extrêmement discontinu, considérer le sous-espace fermé $X \times_Z Y$ de $X \times Y$ formé des points $(x, y)$ tels que $g(x) = h(y)$, et la restriction $p : X \times_Z Y \to X$ de $pr_1$; utiliser l’exerc. 31 de I, p. 111, et b)).