Exercice 26, § 11

Soit $X$ un espace topologique. a) On munit l’ensemble $\mathfrak{P}_0(X)$ de l’une des topologies $\mathscr{T}_\Omega, \mathscr{T}_\varnothing$ (I, p. 91, exerc. 7) ou $\mathscr{T}_\Theta$ (I, p. 101, exerc. 12). Montrer que si une partie $\mathfrak{B}$ de $\mathfrak{P}_0(X)$ est connexe et si tout ensemble $M \in \mathfrak{B}$ est connexe, alors la réunion $\bigcup_{M \in \mathfrak{B}} M$ est connexe. b) Soit $\mathfrak{S}$ une partie de $\mathfrak{P}_0(X)$ contenant l’ensemble de toutes les parties finies non vides de $X$. Montrer que si $X$ est connexe, il en est de même de $\mathfrak{S}$ (utiliser l’exerc. 7 b) de I, p. 91 et la prop. 8 de I, p. 83, en considérant les applications $(x_1, x_2, \ldots, x_n) \mapsto \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$.