Bài tập 26, § 11

Cho $X$ là một không gian tôpô. a) Ta trang bị tập hợp $\mathfrak{P}_0(X)$ với một trong các tôpô $\mathfrak{T}_\Omega, \mathfrak{T}_\varnothing$ (I, p. 91, bài tập 7) hoặc $\mathfrak{T}_\Theta$ (I, p. 101, bài tập 12). Bây giờ chứng minh rằng nếu một tập con $\mathfrak{B}$ của $\mathfrak{P}_0(X)$ là liên thông và nếu mọi tập hợp $M \in \mathfrak{B}$ là liên thông, thì hợp $\bigcup_{M \in \mathfrak{B}} M$ là liên thông. b) Cho $\mathfrak{S}$ là một tập con của $\mathfrak{P}_0(X)$ chứa tập hợp tất cả các tập con hữu hạn khác rỗng của $X$. Bây giờ chứng minh rằng nếu $X$ là liên thông, thì điều tương tự cũng đúng đối với $\mathfrak{S}$ (dùng bài tập 7 b) của I, p. 91 và mệnh đề 8 của I, p. 83, bằng cách xét các ánh xạ $(x_1, x_2, \ldots, x_n) \mapsto \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$.