Exercice 27, § 11

Étant donnés deux espaces topologiques $X, Y$, on dit qu’une application $f : X \to Y$ est un homéomorphisme local si pour tout $x \in X$, il existe un voisinage $U$ de $x$ tel que $f(U)$ soit un voisinage de $f(x)$ dans $Y$ et que l’application $U \to f(U)$ coïncidant avec $f$ dans $U$ soit un homéomorphisme. Tout homéomorphisme local est une application continue ouverte. a) On suppose $X$ séparé, $Y$ localement connexe. Soit $f : X \to Y$ un homéomorphisme local pour lequel il existe un entier $n > 0$ tel que pour tout $y \in Y, f^{-1}(y)$ ait exactement $n$ points. Montrer que pour tout $y \in Y$, il existe un voisinage ouvert $V$ de $y$ tel que $f^{-1}(V)$ ait $n$ composantes connexes $U_i$ ($1 \leq i \leq n$) et que l’application $U_i \to V$ coïncidant avec $f$ dans $U_i$ soit un homéomorphisme; $f$ est alors une application propre. b) On suppose $X$ séparé, $Y$ connexe et localement connexe. Soit $f : X \to Y$ un homéomorphisme local propre; montrer que $f$ vérifie l’hypothèse de a). (Si pour tout entier $n > 0$, $Y_n$ est l’ensemble des $y \in Y$ tels que $f(y)$ ait au moins $n$ points, montrer que $Y_n$ est à la fois ouvert et fermé dans $Y$). c) Donner un exemple d’homéomorphisme local surjectif $f : X \to Y$, où $Y$ est compact, connexe et localement connexe, $X$ localement compact, connexe et localement connexe, $f^{-1}(y)$ a au plus 2 points pour tout $y \in Y$, mais $f$ n’est pas propre (cf. I, p. 96, exerc. 4).