Bài tập 27, § 11

Cho hai không gian tôpô $X, Y$, ta nói rằng một ánh xạ $f : X \to Y$ là một phép đồng phôi địa phương nếu, với mọi $x \in X$, tồn tại một lân cận $U$ của $x$ sao cho $f(U)$ là một lân cận của $f(x)$ trong $Y$ và ánh xạ $U \to f(U)$ trùng với $f$ trên $U$ là một phép đồng phôi. Mọi phép đồng phôi địa phương đều là một ánh xạ liên tục mở. a) Giả sử rằng $X$ là tách, $Y$ liên thông địa phương. Cho $f : X \to Y$ là một phép đồng phôi địa phương sao cho tồn tại một số nguyên $n > 0$ với tính chất với mọi $y \in Y, f^{-1}(y)$ có đúng $n$ điểm. Bây giờ chứng minh rằng với mọi $y \in Y$, tồn tại một lân cận mở $V$ của $y$ sao cho $f^{-1}(V)$ có $n$ thành phần liên thông $U_i$ ($1 \leq i \leq n$) và ánh xạ $U_i \to V$ trùng với $f$ trên $U_i$ là một phép đồng phôi; khi đó $f$ là một ánh xạ thực sự. b) Giả sử rằng $X$ là tách, $Y$ liên thông và liên thông địa phương. Cho $f : X \to Y$ là một phép đồng phôi địa phương thực sự; chứng minh rằng $f$ thỏa mãn giả thiết của a). (Nếu, với mọi số nguyên $n > 0$, $Y_n$ là tập hợp các $y \in Y$ sao cho $f(y)$ có ít nhất $n$ điểm, chứng minh rằng $Y_n$ vừa mở vừa đóng trong $Y$). c) Cho một ví dụ về một phép đồng phôi địa phương toàn ánh $f : X \to Y$, trong đó $Y$ compact, liên thông và liên thông địa phương, $X$ compact địa phương, liên thông và liên thông địa phương, $f^{-1}(y)$ có nhiều nhất 2 điểm với mọi $y \in Y$, nhưng $f$ không thực sự (xem I, p. 96, bài tập 4).