Exercice 28, § 11

Soient $Y, Z$ deux espaces localement compacts, $h$ une application propre de $Y$ dans $Z$ telle que, pour tout $z \in Z, h^{-1}(z)$ soit fini. Soient $X$ un espace localement connexe, $M$ une partie fermée de $X$ telle que, pour tout ouvert connexe non vide $U$ dans $X, U \cap (X - M)$ soit non vide et connexe. On suppose qu’il existe une application continue $f$ de $X - M$ dans $Y$ telle que l’application $g = h \circ f$ de $X - M$ dans $Z$ puisse être prolongée par continuité en une application $\bar{g}$ de $X$ dans $Z$. Montrer que dans ces conditions $f$ peut être prolongée par continuité en une application $\bar{f}$ de $X$ sans $Y$. (Considérer un point $x \in M$ et son image $z = \bar{g}(x)$, ainsi que le filtre $\mathfrak{F}$ sur $X - M$ trace sur $X - M$ du filtre des voisinages de $x$ dans $X$. Montrer que l’ensemble des points adhérents à $f(\mathfrak{F})$ dans $Y$ est fini et non vide et utiliser le fait que $\mathfrak{F}$ admet une base formée d’ensembles connexes).