Bài tập 28, § 11

Cho $Y, Z$ là hai không gian compact địa phương, $h$ là một ánh xạ thực sự từ $Y$ vào $Z$ sao cho, với mọi $z \in Z, h^{-1}(z)$ là hữu hạn. Cho $X$ là một không gian liên thông địa phương, $M$ là một tập con đóng của $X$ sao cho, với mọi tập mở liên thông khác rỗng $U$ trong $X, U \cap (X - M)$ là khác rỗng và liên thông. Giả sử tồn tại một ánh xạ liên tục $f$ từ $X - M$ vào $Y$ sao cho ánh xạ $g = h \circ f$ từ $X - M$ vào $Z$ có thể được mở rộng bởi tính liên tục thành một ánh xạ $\bar{g}$ từ $X$ vào $Z$. Chứng minh rằng dưới các điều kiện này $f$ có thể được mở rộng bởi tính liên tục thành một ánh xạ $\bar{f}$ của $X$ vào $Y$. (Xét một điểm $x \in M$ và ảnh của nó $z = \bar{g}(x)$, cũng như bộ lọc $\mathfrak{F}$ trên $X - M$ được cảm sinh trên $X - M$ bởi bộ lọc các lân cận của $x$ trong $X$. Chứng minh rằng tập hợp các điểm dính vào $f(\mathfrak{F})$ trong $Y$ là hữu hạn và khác rỗng, và sử dụng sự kiện rằng $\mathfrak{F}$ thừa nhận một cơ sở được tạo thành bởi các tập hợp liên thông).