Exercice 5, § 11

a) Donner un exemple, dans l’espace $\mathbf{R}^2$, d’une suite décroissante $(A_n)$ d’ensembles connexes, dont l’intersection est non connexe (cf. II, p. 38, exerc. 14).

b) Dans $\mathbf{R}^2$, soit $X$ l’ensemble réunion des demi-plans ouverts $y > 0, y < 0$ et des points $(n, 0)$ ($n$ entier $\geqslant 1$) ; il est connexe pour la topologie $\mathscr{T}_0$ induite par celle de $\mathbf{R}^2$. Définir sur $X$ une suite $(\mathscr{T}_m)$ de topologies, telle que $\mathscr{T}_{n+1}$ soit plus fine que $\mathscr{T}_n$, que $X$ soit connexe pour chaque $\mathscr{T}_n$, mais non connexe pour la topologie borne supérieure de la suite $(\mathscr{T}_n)$ (passer de $\mathscr{T}_n$ à $\mathscr{T}_{n+1}$ en introduisant de nouveaux voisinages pour le point $(n + 1, 0)$).*