Bài tập 5, § 11

a) Cho một ví dụ, trong mặt phẳng thực $\mathbf{R}^2$, về một dãy giảm $(A_n)$ gồm các tập hợp liên thông mà giao của chúng không liên thông (xem chương II, § 4, Bài tập 14).

b) Trong $\mathbf{R}^2$, cho $X$ là tập hợp là hợp của các nửa mặt phẳng mở $y > 0$ và $y < 0$ và các điểm $(n, 0)$ trong đó $n$ là một số nguyên $> 0$.

X là liên thông đối với tôpô $\mathfrak{T}_0$ cảm sinh bởi tôpô của $\mathbf{R}^2$. Định nghĩa một dãy $(\mathfrak{T}_n)$ các tôpô trên X sao cho $\mathfrak{T}_{n+1}$ mịn hơn $\mathfrak{T}_n$, và sao cho X liên thông đối với mỗi $\mathfrak{T}_n$ nhưng không liên thông đối với tôpô là cận trên nhỏ nhất của dãy $(\mathfrak{T}_n)$ [chuyển từ $\mathfrak{T}_n$ sang $\mathfrak{T}_{n+1}$ bằng cách đưa vào các lân cận mới của điểm $(n + 1, 0)$].*