Exercice 1, § 2

Soit $f$ une application d’un espace topologique $X$ dans un espace topologique $X'$; les propriétés suivantes sont équivalentes:

1 Pour un exemple d’espace où $(\mathrm{D}_4)$ est vérifiée, mais non $(\mathrm{D}_2)$ ni $(\mathrm{D}_3)$, voir I, p. 101, exerc. 6 b). Pour un exemple d’espace où $(\mathrm{D}_2)$ et $(\mathrm{D}_3)$ sont vérifiées, mais non $(\mathrm{D}_1)$, voir IX, § 5, exerc. 15. Pour des exemples d’espaces où l’une des deux conditions $(\mathrm{D}_2)$, $(\mathrm{D}_3)$ est vérifiée mais non l’autre, voir I, p. 109, exerc. 24. Dans un espace métrisable, les propriétés $(\mathrm{D}_1)$ et $(\mathrm{D}_5)$ sont équivalentes.

a) $f$ est continue dans $X$; b) pour toute partie $A'$ de $X'$, $\overline{f(A')}^{-1} \subset (\overline{f(A')})^0$; c) pour toute partie $A'$ de $X'$, $\overline{f(A')}^{-1} \subset \overline{f(A')}^{-1}$.

Montrer par un exemple que lorsque $f$ est continue, les ensembles $\overline{f(A')}^{-1}$ et $\overline{f(A')}^{-1}$ peuvent être distincts.