Bài tập 1, § 2

Cho $f$ là một ánh xạ của một không gian tôpô $X$ vào một không gian tôpô $X'$. Chứng minh rằng các phát biểu sau là tương đương: a) $f$ liên tục trên $X$. b) Với mọi tập con $A'$ của $X'$, $\overline{f^{-1}(A')} \subset (\overline{f^{-1}(A')})^0$. c) Với mọi tập con $A'$ của $X'$, $\overline{f^{-1}(A')} \subset \overline{f^{-1}(\overline{A'})}$. Chỉ ra bằng một ví dụ rằng, nếu $f$ liên tục, các tập hợp $\overline{f^{-1}(A')}$ và $\overline{f^{-1}(\overline{A'})}$ có thể là phân biệt.