Exercice 6, § 2

Sur un ensemble $X$, on dit qu’une topologie est quasi-maximale si elle est maximale dans l’ensemble des topologies pour lesquelles $X$ n’a pas de point isolé. a) Montrer que les propriétés suivantes pour une topologie $\mathscr{T}$ sur $X$ sont équivalentes: $\alpha)$ $\mathscr{T}$ est quasi-maximale; $\beta)$ lorsque $X$ est muni de $\mathscr{T}$, $X$ n’a pas de point isolé et toute partie de $X$ sans point isolé est ouverte. b) Soit $X$ un espace de Kolmogoroff (I, p. 89, exerc. 2) dans lequel tout ensemble ouvert non vide est infini. Montrer qu’il existe sur $X$ une topologie quasi-maximale plus fine que la topologie de $X$ (montrer que l’ensemble des topologies sur $X$ dont tous les ensembles ouverts non vides sont infinis est inductif, et utiliser l’exerc. 2 d) de I, p. 89).