Bài tập 6, § 2

Một tôpô trên một tập hợp $X$ được gọi là gần cực đại nếu nó là cực đại trong tập hợp các tôpô mà trong đó $X$ không có điểm cô lập.

a) Chứng minh rằng các tính chất sau đây của một tôpô $\mathfrak{T}$ trên $X$ là tương đương: $\alpha)$ $\mathfrak{T}$ là gần cực đại; $\beta)$ nếu $X$ mang tôpô $\mathfrak{T}$, thì $X$ không có điểm cô lập và mọi tập con của $X$ không có điểm cô lập đều là mở.

b) Cho $X$ là một không gian Kolmogoroff ($§ 1$, Bài tập 2) trong đó mọi tập hợp mở khác rỗng đều vô hạn. Chứng minh rằng tồn tại một tôpô gần cực đại trên $X$ mịn hơn tôpô đã cho (chứng minh rằng tập hợp các tôpô trên $X$ mà mọi tập hợp mở khác rỗng đều vô hạn là quy nạp, và sử dụng Bài tập 2 d) của $§ 1$).