Exercice 8, § 2

Soient $X$ un ensemble, $c$ un nombre cardinal infini ou égal à 1. L’ensemble des parties de $X$ formé de $X$ et des $M \subset X$ tels que $\mathrm{Card}(M) < c$ est l’ensemble des parties fermées de $X$ pour une topologie $\mathscr{T}_c$; $\mathscr{T}_1$ est la topologie la moins fine et, si $c > \mathrm{Card}(X)$, $\mathscr{T}_c$ est la topologie discrète. Toute permutation de $X$ est un automorphisme de l’espace topologique obtenu en munissant $X$ d’une topologie $\mathscr{T}_c$.

Inversement, montrer que toute topologie $\mathscr{T}$ sur $X$, telle que toute permutation de $X$ soit continue pour $\mathscr{T}$, est nécessairement une des topologies $\mathscr{T}_c$. (Soit $c$ le plus petit cardinal tel que $\mathrm{Card}(F) < c$ pour toute partie fermée $F$ pour $\mathscr{T}$, distincte de $X$; observer que lorsque $X$ est infini et $c > \mathrm{Card}(X)$, $\mathscr{T}$ est nécessairement la topologie discrète.)