Bài tập 8, § 2

Cho $X$ là một tập hợp, và $c$ là một lực lượng hoặc vô hạn hoặc bằng 1. Tập hợp các tập con của $X$ gồm $X$ và những $M \subset X$ sao cho $\operatorname{card}(M) < c$ là tập hợp các tập con đóng của $X$ đối với một tôpô $\mathfrak{T}_c$; $\mathfrak{T}_1$ là tôpô nhỏ nhất trên $X$ và $\mathfrak{T}_c$ là tôpô rời rạc nếu $c > \operatorname{card}(X)$. Mọi phép hoán vị của $X$ đều là một tự đẳng cấu của không gian tôpô thu được bằng cách trang bị cho $X$ tôpô $\mathfrak{T}_c$.

Hãy chứng minh rằng ngược lại, mọi tôpô $\mathfrak{T}$ trên $X$, có tính chất là mọi phép hoán vị của $X$ đều liên tục đối với $\mathfrak{T}$, nhất thiết là một trong các tôpô $\mathfrak{T}_c$. [Cho $c$ là lực lượng nhỏ nhất sao cho $\operatorname{card}(F) < c$ với mỗi tập con đóng $F \neq X$ trong tôpô $\mathfrak{T}$; chú ý rằng khi $X$ là vô hạn và $c > \mathrm{card}(X)$, $\mathfrak{T}$ nhất thiết là tôpô rời rạc.]