Exercice 9, § 2

a) Sous les hypothèses de la prop. 4 de I, p. 12, montrer que la topologie la moins fine sur $X$ rendant continues les $f_t$ est aussi la topologie $la\ plus\ fine$ parmi les topologies $\mathscr{T}$ sur $X$ ayant la propriété suivante: toute application $g$ d’un espace topologique $Z$ dans $X$, telle que les $f_t \circ g$ soient continues, est continue (pour $\mathscr{T}$).

b) Sous les hypothèses de la prop. 6 de I, p. 14, montrer que la topologie la plus fine sur $X$ rendant continues les $f_t$ est aussi la topologie $la\ moins\ fine$ parmi les topologies $\mathscr{T}$ sur $X$ ayant la propriété suivante: toute application $g$ de $X$ dans un espace topologique $Z$, telle que les $g \circ f_t$ soient continues, est continue (pour $\mathscr{T}$).