Exercice 9, § 3

Soit $A$ une partie d’un ensemble totalement ordonné $X$. a) La topologie induite sur $A$ par la topologie $\mathscr{T}_-(X)$ (resp. $\mathscr{T}_+(X), \mathscr{T}_0(X)$) (I, p. 91, exerc. 5) est plus fine que la topologie $\mathscr{T}_-(A)$ (resp. $\mathscr{T}_+(A), \mathscr{T}_0(A)$), $A$ étant ordonné par l’ordre induit. Si $A$ est un intervalle de $X$, $\mathscr{T}_-(A)$ (resp. $\mathscr{T}_+(A), \mathscr{T}_0(A)$) est induite sur $A$ par la topologie $\mathscr{T}_-(X)$ (resp. $\mathscr{T}_+(X), \mathscr{T}_0(X)$).

b) On prend pour X le produit lexicographique $\mathbf{Q} \times \mathbf{Z}$ (E, III, p. 23), pour A le sous-ensemble $\mathbf{Q} \times \{0\}$. Montrer que sur A la topologie $\mathscr{T}_-(A)$ (resp. $\mathscr{T}_+(A), \mathscr{T}_0(A)$) est strictement moins fine que la topologie induite par $\mathscr{T}_-(X)$ (resp. $\mathscr{T}_+(X), \mathscr{T}_0(X)$).