Bài tập 9, § 3

Cho $A$ là một tập con của một tập hợp có thứ tự tuyến tính $X$.

a) Chứng minh rằng tôpô cảm sinh trên $A$ bởi tôpô $\mathfrak{T}_-(X)$ [tương ứng $\mathfrak{T}_+(X), \mathfrak{T}_0(X)$] (§ 2, Bài tập 5) mịn hơn tôpô $\mathfrak{T}_-(A)$ [tương ứng $\mathfrak{T}_+(A), \mathfrak{T}_0(A)$], thứ tự của $A$ là thứ tự cảm sinh bởi thứ tự của $X$. Nếu $A$ là một khoảng của $X$, thì $\mathfrak{T}_-(A)$ [tương ứng $\mathfrak{T}_+(A), \mathfrak{T}_0(A)$] là tôpô cảm sinh trên $A$ bởi $\mathfrak{T}_-(X)$ [tương ứng $\mathfrak{T}_+(X), \mathfrak{T}_0(X)$].

b) Lấy $X$ là tích $\mathbf{Q} \times \mathbf{Z}$, có thứ tự bởi thứ tự từ điển (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 2, no. 6) và lấy $A$ là tập con $\mathbf{Q} \times \{0\}$. Chứng minh rằng tôpô $\mathfrak{T}_-(A)$ [tương ứng $\mathfrak{T}_+(A), \mathfrak{T}_0(A)$] thô hơn một cách nghiêm ngặt so với tôpô cảm sinh trên $A$ bởi $\mathfrak{T}_-(X)$ [tương ứng $\mathfrak{T}_+(X), \mathfrak{T}_0(X)$].