Exercice 10, § 4

a) Soit $(X_\alpha, f_{\alpha\beta})$ un système projectif d’espaces topologiques, et soit $X$ sa limite projective; soit $f_\alpha$ l’application canonique $X \to X_\alpha$ et, pour tout $\alpha$, soit $Y_\alpha$ un sous-espace de $X_\alpha$ contenant $f_\alpha(X)$ et tel que les $Y_\alpha$ forment un système projectif de sous-espaces des $X_\alpha$. Montrer que $\lim_{{\leftarrow}} Y_\alpha$ s’identifie canoniquement à $X$.

b) Soit $(X'_\alpha, f'_{\alpha\beta})$ une second système projectif d’espaces topologiques ayant même ensemble d’indices supposé filtrant, et soit, pour tout $\alpha$, $u_\alpha : X_\alpha \to X'_\alpha$ une application continue telle que les $u_\alpha$ forment un système projectif d’applications. Les $u_\alpha(X_\alpha)$ forment un système projectif de sous-espaces des $X'_\alpha$; montrer que si $u = \lim_{{\leftarrow}} u_\alpha$ et si on suppose les $f_\alpha$ surjectives, $u(X)$ est dense dans l’espace $\lim_{{\leftarrow}} u_\alpha(X_\alpha)$. La proposition est-elle encore exacte lorsque les $f_\alpha$ ne sont plus supposées surjectives (cf. E, III, p. 94, exerc. 4)?