Bài tập 10, § 4

a) Cho $(X_\alpha, f_{\alpha \beta})$ là một hệ ngược của các không gian tôpô, và cho $X$ là giới hạn ngược. Cho $f_\alpha$ là ánh xạ chính tắc $X \to X_\alpha$. Với mỗi $\alpha$, cho $Y_\alpha$ là một không gian con của $X_\alpha$ chứa $f_\alpha(X)$, sao cho các $Y_\alpha$ tạo thành một hệ ngược của các không gian con của các $X_\alpha$. Chứng minh rằng $\varprojlim Y_\alpha$ có thể được đồng nhất một cách chính tắc với $X$.

b) Cho $(X'_\alpha, f'_{\alpha \beta})$ là một hệ ngược khác của các không gian tôpô với cùng tập hợp chỉ số có hướng. Với mỗi $\alpha$, cho $u_\alpha : X_\alpha \to X'_\alpha$ là một ánh xạ liên tục sao cho các $u_\alpha$ tạo thành một hệ ngược của các ánh xạ. Các $u_\alpha(X_\alpha)$ tạo thành một hệ ngược của các không gian con của các $X'_\alpha$; chứng minh rằng nếu $u = \varprojlim u_\alpha$ và nếu các $f_\alpha$ là toàn ánh, thì $u(X)$ là trù mật trong không gian $\varprojlim u_\alpha(X_\alpha)$. Kết quả này còn đúng nếu các $f_\alpha$ không còn được giả thiết là toàn ánh không? (Cf. Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 1, bài tập 32.)