Exercice 4, § 4

Soient $K$ l’espace discret formé des deux nombres 0, 1, $A$ un ensemble infini, $X$ l’espace produit $K^A$. Soit $V = \prod_{\alpha \in A} V_\alpha$ un ensemble élémentaire dans $X$ : si $h$ est le nombre des indices $\alpha$ tels que $V_\alpha \neq K$, on pose $\mu(V) = 0$ si $V$ est vide, et sinon $\mu(V) = 2^{-h}$.

a) Montrer que, si $U_1, \ldots, U_n$ sont des ensembles élémentaires deux à deux disjoints, on a

(Mettre les $U_k$ sous la forme $W_k \times K^B$, où $B$ (indépendant de $k$) est le complémentaire d’une partie finie de $A$, et $W_k$ un ensemble fini dont on évaluera le nombre de points.)

b) Déduire de a) que $X$ satisfait à la condition $(D_{IV})$ de l’exerc. 7 de I, p. 90. (S’il existait une famille non dénombrable $(U_\lambda)$ d’ensembles élémentaires deux à deux disjoints, remarquer qu’il existerait un entier $p > 0$ tel que $\mu(U_\lambda) \geq 1/p$ pour une infinité d’indices $\lambda$).

c) Montrer que si $A$ n’est pas dénombrable, $X$ ne satisfait pas à la condition $(D_{III})$ de l’exerc. 7 de I, p. 90 (cf. exerc. 3).