Bài tập 4, § 4

Cho $K$ là không gian rời rạc gồm hai số $0, 1$; cho $A$ là một tập vô hạn, và cho $X$ là không gian tích $K^A$. Cho

là một tập sơ cấp trong $X$; nếu $h$ là số các chỉ số $\alpha$ sao cho $V_\alpha \neq K$, đặt $\mu(V) = 2^{-h}$.

a) Chứng minh rằng nếu $U_1, \ldots, U_n$ là các tập sơ cấp rời nhau từng đôi một, thì

[Viết mỗi $U_k$ dưới dạng $W_k \times K^B$, trong đó $B$ (độc lập với $k$) là phần bù của một tập con hữu hạn của $A$, và $W_k$ là một tập hữu hạn; đếm số điểm của $W_k$].

b) Suy ra từ a) rằng $X$ thỏa mãn điều kiện $(D_{IV})$ của Bài tập 7 của § 1. [Nếu tồn tại một họ không đếm được $(U_\lambda)$ các tập sơ cấp rời nhau từng đôi một, thì sẽ tồn tại một số nguyên $p > 0$ sao cho $\mu(U_\lambda) \geq 1/p$ với một số vô hạn các chỉ số $\lambda$].

c) Chứng minh rằng nếu $A$ là không đếm được, thì $X$ không thỏa mãn điều kiện $(D_{III})$ của Bài tập 7 của § 1 (xem Bài tập 3).