Exercice 17, § 6

Soit $X$ un ensemble ordonné réticulé (E, III, p. 13). On dit qu’une partie non vide $F$ de $X$ est un préfiltre si elle satisfait aux conditions suivantes: 1° quel que soit $x \in F$, la relation $y \geqslant x$ entraîne $y \in F$; 2° si $x \in F$ et $y \in F$, alors $\inf(x, y) \in F$; 3° $F \neq X$. Dans l’ensemble, ordonné par inclusion, des parties d’un ensemble $Y$, les préfiltres sont donc les filtres sur $Y$. On dit qu’un préfiltre $F$ est premier si la relation $\sup(x, y) \in F$ entraîne $x \in F$ ou $y \in F$. Un préfiltre pour la relation d’ordre opposée à celle de $X$ est appelé un copréfiltre sur $X$: a) L’ensemble des majorants d’une partie $A$ de $X$ non réduite au plus petit élément de $X$ est un préfiltre. Donner des exemples de préfiltres qui ne sont pas des ensembles de majorants. b) Montrer que si $F$ est un préfiltre premier, $\complement F$ est un copréfiltre premier. c) Montrer que si $X$ admet un plus petit élément 0, tout préfiltre est contenu dans un préfiltre maximal (utiliser le th. de Zorn, en remarquant que 0 n’appartient à aucun préfiltre). d) Déterminer tous les préfiltres dans un ensemble totalement ordonné $X$, et montrer qu’ils sont tous premiers. En déduire des exemples de préfiltres premiers non maximaux. e) Soit $X$ un ensemble ordonné formé de 5 éléments, notés 0, 1, $a, b, c$, les relations d’ordre entre ces éléments étant $0 < a < 1, 0 < b < 1, 0 < c < 1$. Montrer que $X$ est réticulé, et que les préfiltres distincts de $\{1\}$ sont maximaux mais non premiers. f) Soit $X$ un ensemble réticulé ayant un plus petit élément 0. Montrer que si $F \subset X$ est un préfiltre, $a$ un élément de $X$ n’appartenant pas à $F$, alors, pour qu’il existe un préfiltre contenant $F$ et $a$, il faut et il suffit que $\inf(a, x) \neq 0$ pour tout $x \in F$; le plus petit préfiltre contenant $F$ et $a$ est alors l’ensemble des $y \in X$ tels que $y \geqslant \inf(a, x)$ pour un $x \in F$ au moins.