Bài tập 17, § 6

Cho $X$ là một dàn (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 1, no. 13). Một tập con không rỗng $F$ của $X$ được gọi là một tiền lọc nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (i) nếu $x \in F$ và $y \geq x$, thì $y \in F$; (ii) nếu $x \in F$ và $y \in F$, thì $\inf(x, y) \in F$; (iii) $F \neq X$. Như vậy, các tiền lọc trên tập hợp các tập con của một tập hợp $Y$, có thứ tự bởi quan hệ bao hàm, chính xác là các lọc trên $Y$. Một tiền lọc $F$ được gọi là nguyên tố nếu quan hệ $\sup(x, y) \in F$ kéo theo rằng hoặc $x \in F$ hoặc $y \in F$. Một tiền lọc đối với thứ tự đối của thứ tự trên $X$ được gọi là một tiền lọc đối trên $X$.

a) Tập hợp các chặn trên của một tập con $A$ của $X$ mà không chỉ gồm phần tử nhỏ nhất của $X$ là một tiền lọc. Hãy cho các ví dụ về các tiền lọc không phải là các tập hợp các chặn trên.

b) Chứng minh rằng nếu $F$ là một tiền lọc nguyên tố, thì $CF$ là một tiền lọc đối nguyên tố.

c) Chứng minh rằng nếu $X$ có một phần tử nhỏ nhất $o$, thì mọi tiền lọc đều được chứa trong một tiền lọc cực đại (sử dụng bổ đề Zorn, lưu ý rằng $o$ không thuộc tiền lọc nào).

d) Tìm tất cả các tiền lọc trên một tập hợp $X$ có thứ tự tuyến tính, và chứng minh rằng tất cả chúng đều nguyên tố. Từ đó cho các ví dụ về các tiền lọc nguyên tố không cực đại.

e) Cho $X$ là một tập hợp có thứ tự gồm 5 phần tử, ký hiệu bởi $o, 1, a, b, c$, các quan hệ thứ tự là $o < a < 1, o < b < 1, o < c < 1$. Chứng minh rằng $X$ là một dàn và các tiền lọc khác $\{1\}$ là cực đại nhưng không nguyên tố.

f) Cho $X$ là một dàn có một phần tử nhỏ nhất $o$. Chứng minh rằng nếu $F \subset X$ là một tiền lọc và $a$ là một phần tử của $X$ không thuộc $F$, thì có một tiền lọc chứa $F$ và $a$ khi và chỉ khi $\inf(a, x) \neq o$ với mọi $x \in F$; tiền lọc nhỏ nhất chứa $F$ và $a$ khi đó là tập hợp tất cả các $y \in X$ sao cho $y \geq \inf(a, x)$ đối với ít nhất một phần tử $x$ của $F$.