Exercice 18, § 6

Soit $X$ un ensemble réticulé distributif (E, III, p. 72, exerc. 16) ayant un plus petit élément 0. a) Si $a$ est un élément irréductible de $X$ (E, III, p. 81, exerc. 7), montrer que l’ensemble des majorants de $a$ est un préfiltre premier. Donner un exemple de préfiltre premier qui n’est pas un ensemble de majorants d’un élément irréductible (cf. exerc. 17 d)). b) Montrer que tout préfiltre maximal sur $X$ est premier (utiliser l’exerc. 17 f)); donner des exemples de préfiltres premiers non maximaux sur un ensemble réticulé distributif (exerc. 17 d)). c) Montrer que tout préfiltre $F$ est l’intersection des préfiltres premiers qui le contiennent (si $a \notin F$, montrer qu’un élément maximal $U$ dans l’ensemble des préfiltres contenant $F$ et auxquels $a$ n’appartient pas, est premier, en utilisant l’exerc. 17 f)). d) Soit $\Omega$ l’ensemble des préfiltres premiers dans $X$. A tout élément $x \in X$ on fait correspondre la partie $A_x$ de $\Omega$ formée des préfiltres premiers $F$ tels que $x \in F$. Montrer que l’application $x \mapsto A_x$ de $X$ dans $\mathfrak{P}(\Omega)$ est injective croissante, et qu’on a $A_{\inf(x,y)} = A_x \cap A_y$ et $A_{\sup(x,y)} = A_x \cup A_y$.