Bài tập 18, § 6

Cho $X$ là một dàn phân phối (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 1, Bài tập 16) có phần tử bé nhất $o$.

a) Nếu $a$ là một phần tử bất khả quy của $X$ (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 4, Bài tập 7), hãy chứng minh rằng tập hợp tất cả các cận trên của $a$ là một tiền lọc nguyên tố. Hãy cho một ví dụ về một tiền lọc nguyên tố không phải là tập hợp các cận trên của một phần tử bất khả quy của $X$ [xem Bài tập 17 d)].

b) Hãy chứng minh rằng mọi tiền lọc cực đại trên $X$ đều là nguyên tố [sử dụng Bài tập 17 f)]. Hãy cho các ví dụ về các tiền lọc nguyên tố không cực đại trên một dàn phân phối [Bài tập 17 d)].

c) Hãy chứng minh rằng mọi tiền lọc $F$ là giao của các tiền lọc nguyên tố chứa $F$ [nếu $a \notin F$, hãy chứng minh rằng một phần tử cực đại $U$ trong tập hợp các tiền lọc chứa $F$ nhưng không chứa $a$ là nguyên tố, bằng cách sử dụng Bài tập 17 f)].

d) Gọi $\Omega$ là tập hợp các tiền lọc nguyên tố trên $X$. Với mỗi $x \in X$ cho tương ứng tập con $A_x$ của $\Omega$ gồm các tiền lọc nguyên tố $F$ sao cho $x \in F$. Hãy chứng minh rằng ánh xạ $x \to A_x$ của $X$ vào $\mathfrak{P}(\Omega)$ là đơn ánh và bảo toàn cấp, rằng $A_{\operatorname{int}(x,y)} = A_x \cap A_y$ và rằng