Exercice 6, § 6

Si, à tout filtre sur un ensemble $X$, on fait correspondre la topologie associée (I, p. 40) sur un même ensemble $X' = X \cup \{ \omega \}$, on a les propriétés suivantes:

a) Si une topologie sur $X'$ est plus fine qu’une topologie associée à un filtre $\mathfrak{F}$ sur $X$, c’est la topologie discrète ou la topologie associée à un filtre plus fin que $\mathfrak{F}$. Réciproque.

b) La borne inférieure des topologies associées aux filtres d’un ensemble $\Phi$ de filtres sur $X$ est la topologie associée à l’intersection des filtres de $\Phi$.

c) Soit $\mathfrak{G}$ un ensemble de parties de $X$, et soit $\mathfrak{G}'$ l’ensemble des parties de $X'$ de la forme $M \cup \{ \omega \}$, où $M$ parcourt $\mathfrak{G}$; soit $\mathscr{H} = \mathfrak{G}' \cup \mathfrak{P}(X)$. Si $\mathfrak{G}$ engendre un filtre $\mathfrak{F}$, $\mathscr{H}$ engendre sur $X'$ la topologie associée à $\mathfrak{F}$. Quelle topologie engendre $\mathscr{H}$ lorsque $\mathfrak{G}$ n’est pas un système générateur d’un filtre?

d) Pour que $\mathfrak{F}$ soit un ultrafiltre sur $X$, il faut et il suffit que la topologie associée sur $X'$ soit $X$-maximale (I, p. 94, exerc. 11).