Bài tập 6, § 6

Nếu với mỗi bộ lọc trên một tập hợp $X$ ta cho tương ứng tôpô liên kết (no. 5) trên tập hợp $X' = X \cup \{ \omega \}$, thì ta có các mệnh đề sau:

a) Nếu một tôpô $\mathfrak{T}$ trên $X'$ mịn hơn tôpô liên kết với một bộ lọc $\mathfrak{F}$ trên $X$, thì $\mathfrak{T}$ hoặc là tôpô rời rạc hoặc là tôpô liên kết với một bộ lọc mịn hơn $\mathfrak{F}$. Đảo lại?

b) Cận dưới lớn nhất của các tôpô liên kết với các bộ lọc của một tập hợp $\Phi$ gồm các bộ lọc trên $X$ là tôpô liên kết với giao của các bộ lọc thuộc $\Phi$.

c) Cho $\mathfrak{G}$ là một tập hợp các tập con của $X$, và cho $\mathfrak{G}'$ là tập hợp các tập con của $X'$ có dạng $M \cup \{ \omega \}$ trong đó $M \in \mathfrak{G}$. Ký hiệu $\mathfrak{H}$ là $\mathfrak{G} \cup \mathfrak{P}(X)$. Nếu $\mathfrak{G}$ sinh ra một bộ lọc $\mathfrak{F}$, hãy chỉ ra rằng $\mathfrak{H}$ là một cơ sở phụ của tôpô trên $X'$ liên kết với $\mathfrak{F}$. Tôpô nào được $\mathfrak{H}$ sinh ra nếu $\mathfrak{G}$ không phải là một cơ sở phụ của bộ lọc?

d) $\mathfrak{F}$ là một siêu bộ lọc trên $X$ khi và chỉ khi tôpô liên kết trên $X'$ là $X$-cực đại ($\S$ 3, Bài tập 11).