Exercice 8, § 6

a) Soit $\Phi$ un ensemble de topologies sur un ensemble $X$. Montrer que le filtre des voisinages d’un point $x \in X$ pour la topologie intersection des topologies de $\Phi$, est moins fin que le filtre intersection des filtres de voisinages de $x$ pour les topologies de $\Phi$.

b) Sur l’ensemble $\mathbf{Q}^2$, on considère l’ordre lexicographique (E, III, p. 23), et la topologie $\mathscr{T}_1 = \mathscr{T}_0(\mathbf{Q}^2)$ correspondant à cette structure d’ensemble totalement ordonné (I, p. 91, exerc. 5); soit $\mathscr{T}_2$ la topologie sur $\mathbf{Q}^2$ obtenue en transportant $\mathscr{T}_1$ par la symétrie $(\xi, \eta) \mapsto (\eta, \xi)$. Montrer que si $\mathscr{T}$ est l’intersection des topologies $\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$, le filtre des voisinages d’un point pour $\mathscr{T}$ est strictement moins fin que l’intersection des filtres de ses voisinages pour $\mathscr{T}_1$ et $\mathscr{T}_2$.