Exercice 6, § 7

Soit $(X_t)_{t \in I}$ une famille non dénombrable d’espaces discrets ayant chacun au moins deux points. Sur l’ensemble produit $X = \prod_{t \in I} X_t$, on considère la topologie engendrée par les produits $\prod_{t \in I} M_t$, où $M_t \subset X_t$ pour tout $t \in I$ et $M_t = X_t$ sauf pour une famille dénombrable d’indices (cf. I, p. 95, exerc. 9). Montrer que dans $X$ toute intersection dénombrable d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert; en déduire qu’aucun point de $X$ ne possède de système fondamental dénombrable de voisinages.