Exercice 14, § 8

Montrer que l’axiome (O_{III}) est équivalent à chacun des axiomes suivants:

(O''_{III}) Pour toute partie fermée $F$ de $X$, l’intersection des voisinages fermés de $F$ est identique à $F$.

(O'''_{III}) Pour tout filtre $\mathfrak{F}$ sur $X$, convergent vers un point $a$, le filtre $\overline{\mathfrak{F}}$ sur $X$ ayant pour base les adhérences des ensembles de $\mathfrak{F}$, converge aussi vers $a$.