Bài tập 14, § 8

Chứng minh rằng tiên đề $(O_{III})$ tương đương với mỗi tiên đề sau:

(O''''III) Nếu $F$ là một tập con đóng bất kỳ của $X$ thì giao của tất cả các lân cận đóng của $F$ bằng $F$.

(O'''''III) Nếu $\mathfrak{F}$ là một lọc bất kỳ trên $X$ hội tụ đến một điểm $a$, thì lọc $\mathfrak{F}$ trên $X$ có các bao đóng của các tập hợp của $\mathfrak{F}$ làm cơ sở cũng hội tụ đến $a$.