Exercice 22, § 8

a) Avec les notations de l’exerc. 20 c), montrer que l’ensemble E(\mathscr{T}_0) des topologies \mathscr{T} telles que \mathscr{T}* = \mathscr{T}_0 est inductif pour la relation « \mathscr{T} est moins fine que \mathscr{T}' ». Pour toute topologie semi-régulière \mathscr{T}_0 sur X, un élément maximal de E(\mathscr{T}_0) est appelé topologie sub-maximale, et X muni d’une telle topologie est appelé espace submaximal. Toute topologie de l’ensemble E(\mathscr{T}_0) est donc moins fine qu’une topologie submaximale.

b) Pour qu’une topologie \mathscr{T} sur X soit submaximale, il faut et il suffit que tout ensemble dense dans X pour \mathscr{T} soit ouvert pour \mathscr{T}. Un espace submaximal non vide est donc non résoluble (I, p. 92, exerc. 11).

c) Montrer que tout sous-espace d’un espace submaximal est localement fermé et est sub-maximal (considérer d’abord les sous-espaces ouverts et les sous-espaces fermés).

d) Montrer que l’espace associé à un filtre plus fin que le filtre des complémentaires des parties finies d’un ensemble infini est un espace submaximal.

e) Si $M$ est une partie d’un espace submaximal $X$, montrer que le sous-espace $\overline{M} - \dot{M} = \mathrm{Fr}(M)$ de $X$ est discret.

f) Inversement, soit X un espace topologique dans lequel il y a un sous-espace ouvert partout dense U, tel que U soit submaximal et que la topologie de X soit U-maximale (I, p. 94, exerc. 11); alors X est submaximal.