Bài tập 22, § 8

a) Với ký hiệu của Bài tập 20 c), hãy chứng minh rằng tập $E(\mathfrak{T}_0)$ gồm các tôpô $\mathfrak{T}$ sao cho $\mathfrak{T}^* = \mathfrak{T}_0$ là quy nạp đối với quan hệ "“$\mathfrak{T}$ thô hơn $\mathfrak{T}'$". Nếu $\mathfrak{T}_0$ là một tôpô nửa chính quy trên $X$, một phần tử cực đại của $E(\mathfrak{T}_0)$ được gọi là một tôpô dưới cực đại, và tập hợp $X$ với một tôpô như vậy được gọi là một không gian dưới cực đại. Do đó mọi tôpô của $E(\mathfrak{T}_0)$ đều thô hơn một tôpô dưới cực đại nào đó.

b) Một tôpô $\mathfrak{T}$ trên $X$ là dưới cực đại khi và chỉ khi mọi tập con của $X$ trù mật trong tôpô $\mathfrak{T}$ đều mở trong $\mathfrak{T}$. Vì vậy một không gian dưới cực đại khác rỗng không phải là giải được (§ 2, Bài tập 2).

c) Hãy chứng minh rằng mọi không gian con của một không gian dưới cực đại đều đóng địa phương và dưới cực đại (trước hết xét các không gian con mở và các không gian con đóng).

d) Hãy chứng minh rằng không gian liên kết với một lọc mịn hơn lọc gồm các phần bù của các tập con hữu hạn của một tập vô hạn là một không gian dưới cực đại.

e) Nếu $M$ là một tập con của một không gian dưới cực đại $X$, hãy chứng minh rằng không gian con $\overline{M} - \dot{M} = Fr(M)$ là rời rạc.

f) Ngược lại, cho $X$ là một không gian tôpô có một tập con mở trù mật $U$ sao cho $U$ là dưới cực đại và tôpô của $X$ là $U$-cực đại (§ 3, Bài tập 11). Khi đó $X$ là dưới cực đại.