Exercice 25, § 8

a) Sur un ensemble X, l’ensemble des topologies régulières, et l’ensemble des topologies régulières sans point isolé, sont inductifs pour la relation « $\mathscr{T}$ est moins fine que $\mathscr{T}$’ ».

b) On dit qu’une topologie $\mathscr{T}$ sur un ensemble X est ultrarégulière si elle est maximale dans l’ensemble des topologies sur X qui sont régulières et sans point isolé; pour toute topologie régulière et sans point isolé sur X, il existe donc une topologie ultrarégulière plus fine. Un espace dont la topologie est ultrarégulière est dit ultrarégulier. Pour qu’une topologie régulière sans point isolé soit ultrarégulière, il faut et il suffit que si A et B sont deux parties complémentaires de X sans point isolé, A et B soient ouvertes pour $\mathscr{T}$. En particulier, un espace ultrarégulier n’est pas résoluble (I, p. 92, exerc. 11). (Pour montrer que la condition est suffisante, remarquer que si $\mathscr{T}$’ est une topologie régulière sans point isolé, plus fine que $\mathscr{T}$, U une partie ouverte non vide pour $\mathscr{T}$’, $\overline{U}$ son adhérence pour $\mathscr{T}$’, $\overline{U}$ et X — $\overline{U}$ n’ont pas de point isolé pour $\mathscr{T}$).

c) Dans un espace ultrarégulier, l’adhérence de tout ensemble sans point isolé est un ensemble ouvert, et l’intérieur d’un ensemble partout dense est partout dense; l’intersection de deux ensembles partout denses est donc partout dense. En conclure que si $\mathscr{T}_0$ est une topologie ultrarégulière, parmi toutes les topologies $\mathscr{T}$ telles que $\mathscr{T}^* = \mathscr{T}_0$ (I, p. 103, exerc. 20), il y en a une plus fine que toutes les autres (nécessairement submaximale).