Bài tập 25, § 8

a) Trên một tập hợp X, tập hợp các tôpô chính quy, và tập hợp các tôpô chính quy không có điểm cô lập, là quy nạp đối với quan hệ « $\mathfrak{T}$ là kém mịn hơn $\mathfrak{T}$’ ».

b) Một tôpô $\mathfrak{T}$ trên một tập hợp X được gọi là siêu chính quy nếu nó là cực đại trong tập hợp các tôpô trên X chính quy và không có điểm cô lập; do đó, đối với mỗi tôpô chính quy không có điểm cô lập trên X, tồn tại một tôpô siêu chính quy mịn hơn. Một không gian mà tôpô của nó là siêu chính quy được gọi là siêu chính quy. Để một tôpô chính quy không có điểm cô lập là siêu chính quy, điều kiện cần và đủ là nếu A và B là hai tập con bù nhau của X không có điểm cô lập, thì A và B là mở đối với $\mathfrak{T}$. Đặc biệt, một không gian siêu chính quy là không giải được (I, p. 92, exerc. 11). (Để bây giờ chứng minh rằng điều kiện là đủ, nhận xét rằng nếu $\mathfrak{T}$’ là một tôpô chính quy không có điểm cô lập, mịn hơn $\mathfrak{T}$, U là một tập con mở khác rỗng đối với $\mathfrak{T}$’, $\overline{U}$ là bao đóng của nó đối với $\mathfrak{T}$’, $\overline{U}$ và X — $\overline{U}$ không có điểm cô lập đối với $\mathfrak{T}$).

c) Trong một không gian siêu chính quy, bao đóng của mỗi tập hợp không có điểm cô lập là một tập hợp mở, và phần trong của một tập hợp trù mật khắp nơi là trù mật khắp nơi; giao của hai tập hợp trù mật khắp nơi do đó là trù mật khắp nơi. Kết luận rằng nếu $\mathfrak{T}_0$ là một tôpô siêu chính quy, trong tất cả các tôpô $\mathfrak{T}$ sao cho $\mathfrak{T}^* = \mathfrak{T}_0$ (I, p. 103, exerc. 20), có một tôpô mịn hơn tất cả các tôpô khác (nhất thiết là nửa cực đại).