Exercice 5, § 8

a) Soit $X$ un ensemble infini. Montrer que, sur $X$, toutes les topologies $\mathscr{T}_c$ (I, p. 92, exerc. 8) telles que $1 < c \leq \mathrm{Card}(X)$ sont des topologies d’espace accessible mais ne sont pas séparées. b) Montrer que l’intersection de toutes les topologies séparées sur $X$ est la topologie non

EXERCICES

séparée $\mathscr{T}_{\mathrm{Card}(\mathbf{N})}$, qui est aussi la topologie d’espace accessible la moins fine sur $X$. (Utiliser l’exerc. 8 de I, p. 92, et remarquer qu’il y a des topologies séparées sur $X$ pour lesquelles il y a des ensembles infinis dénombrables non fermés.)