Exercice 6, § 8

a) Soit $X$ un espace séparé et soit $D$ une partie partout dense de $X$. Montrer que l’on a $\mathrm{Card}(X) \leqslant 2^{2^{\mathrm{Card}(D)}}$ (observer que tout point de $X$ est limite d’une base de filtre sur $D$). Montrer que cette majoration de $\mathrm{Card}(X)$ ne peut être améliorée (I, p. 95, exerc. 5 b)), et en déduire que sur un ensemble infini $A$, l’ensemble des ultrafiltres et l’ensemble des filtres sont tous deux équipotents à $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(A))$.

b) Soient $K$ l’espace discret formé des deux nombres $0, 1$, $A$ un ensemble infini. Déduire de a) que si $\mathrm{Card}(A) \geqslant 2^{2^{\mathrm{Card}(\mathbf{N})}}$, l’espace produit $K^A$ vérifie la condition $(\mathrm{D}_{\mathrm{IV}})$, mais ni la condition $(\mathrm{D}_{\mathrm{II}})$ ni la condition $(\mathrm{D}_{\mathrm{III}})$ de l’exerc. 7 de I, p. 90 (I, p. 95, exerc. 4).