Bài tập 6, § 8

a) Cho $X$ là một không gian Hausdorff và $D$ là một tập con trù mật của $X$. Chứng minh rằng $\operatorname{card}(X) \leq 2^{2^{\operatorname{card}(D)}}$ (nhận xét rằng mọi điểm của $X$ là giới hạn của một cơ sở lọc trên $D$). Chứng minh rằng cận trên này đối với $\operatorname{card}(X)$ không thể cải thiện được ($§ 4$, Bài tập 5 b)) và suy ra rằng trên một tập vô hạn $A$ tập các lọc siêu và tập các lọc đều có cùng lực lượng với $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(A))$.

b) Cho $K$ là không gian rời rạc gồm hai số $0$ và $1$. Cho $A$ là một tập vô hạn. Suy ra từ a) rằng nếu $\operatorname{card}(A) \geq 2^{2^{\operatorname{card}(N)}}$, thì không gian tích $K^A$ thỏa mãn điều kiện $(D_{IV})$ của Bài tập 7 của $§ 1$, nhưng không thỏa mãn cả $(D_{II})$ lẫn $(D_{III})$. ($§ 4$, Bài tập 4).