Exercice 8, § 8

Soient $X$ un espace topologique, $R$ une relation d’équivalence fermée dans $X$, telle que les classes d’équivalence suivant $R$ soient finies. Montrer que si $X$ est séparé (resp. régulier), il en est de même de $X/R$. Ceci s’applique en particulier aux deux cas suivants :

1° $X/R$ est l’espace quotient obtenu par recollement d’une famille d’espaces $(X_i)$ le long d’ensembles fermés $A_{i\kappa}$ (I, p. 17), en supposant que pour chaque indice $i$ il n’existe qu’un nombre fini d’indices $\kappa$ tels que $A_{i\kappa} \neq \varnothing$.

2° $R$ est la relation d’équivalence « il existe $\sigma \in \Gamma$ tel que $y = \sigma(x)$ », où $\Gamma$ est un groupe fini d’homéomorphismes de $X$.