Exercice 15, § 9

On dit qu’un espace topologique X est un espace de Lindelöf si tout recouvrement ouvert de X contient un recouvrement dénombrable de X. Tout espace admettant une base dénombrable est un espace de Lindelöf; tout espace quasi-compact est un espace de Lindelöf.

a) Tout sous-espace fermé d’un espace de Lindelöf est un espace de Lindelöf. Pour que tout sous-espace d’un espace de Lindelöf soit un espace de Lindelöf, il suffit que tout sous-espace ouvert soit un espace de Lindelöf (cf. exerc. 16).

b) Pour tout application continue $f$ d’un espace de Lindelöf X dans un espace topologique X’, le sous-espace $f(X)$ de X’ est un espace de Lindelöf.

c) Tout espace réunion dénombrable de sous-espaces de Lindelöf est un espace de Lindelöf. En particulier, tout espace dénombrable est un espace de Lindelöf.

d) Pour qu’un espace de Lindelöf X soit quasi-compact, il suffit que toute suite de points de X admette une valeur d’adhérence (montrer que l’axiome (C'') est alors vérifié).

e) Dans un espace de Lindelof accessible X, un sous-espace fermé discret est nécessairement dénombrable, et à plus forte raison, X vérifie la condition (D_v) de I, p. 90, exerc. 7.